2016-08-23

AOJ 0010

Circumscribed Circle of a Triangle | Aizu Online Judge

外接円の中心の座標を $\mathrm{O}(x, y)$ として，次の方程式を解く．

$\displaystyle (x-x_1)^2 + (y-y_1)^2 = (x-x_2)^2 + (y-y_2)^2 = (x-x_3)^2 + (y-y_3)^2$

つまり，次のような連立方程式を解けばよい．

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} (x-x_1)^2 + (y-y_1)^2 = (x-x_2)^2 + (y-y_2)^2 \\ (x-x_2)^2 + (y-y_2)^2 = (x-x_3)^2 + (y-y_3)^2 \end{array} \right.$

解は次のようになる．

$\displaystyle x = \frac{1}{2} \frac{(y_3-y_2)(x_2^2-x_1^2+y_2^2-y_1^2) - (y_2-y_1)(x_3^2-x_2^2+y_3^2-y_2^2)}{(x_2-x_1)(y_3-y_2)-(y_2-y_1)(x_3-x_2)}$

$\displaystyle y = \frac{1}{2} \frac{-(x_3-x_2)(x_2^2-x_1^2+y_2^2-y_1^2) + (x_2-x_1)(x_3^2-x_2^2+y_3^2-y_2^2)}{(x_2-x_1)(y_3-y_2)-(y_2-y_1)(x_3-x_2)}$

外接円の半径 $r$ は外接円の中心と 3 つのうちのひとつの点の Euclid 距離を求めればいい．

#include <iostream>
#include <array>
#include <cmath>
#include <iomanip>

using namespace std;

int main() {
    int n;
    cin >> n;

    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        array<pair<double, double>, 3> p;
        cin >> p[0].first >> p[0].second >> p[1].first >> p[1].second >> p[2].first >> p[2].second;

        pair<long double, long double> o(
                ((p[2].second - p[1].second) * (pow(p[1].first, 2.0) - pow(p[0].first, 2.0) + pow(p[1].second, 2.0) - pow(p[0].second, 2.0)) - (p[1].second - p[0].second) * (pow(p[2].first, 2.0) - pow(p[1].first, 2.0) + pow(p[2].second, 2.0) - pow(p[1].second, 2.0))) / (2.0 * ((p[1].first - p[0].first) * (p[2].second - p[1].second) - (p[1].second - p[0].second) * (p[2].first - p[1].first))),
                (- (p[2].first - p[1].first) * (pow(p[1].first, 2.0) - pow(p[0].first, 2.0) + pow(p[1].second, 2.0) - pow(p[0].second, 2.0)) + (p[1].first - p[0].first) * (pow(p[2].first, 2.0) - pow(p[1].first, 2.0) + pow(p[2].second, 2.0) - pow(p[1].second, 2.0))) / (2.0 * ((p[1].first - p[0].first) * (p[2].second - p[1].second) - (p[1].second - p[0].second) * (p[2].first - p[1].first)))
        );

        long double r = sqrt(pow(p[0].first - o.first, 2.0) + pow(p[0].second - o.second, 2.0));

        cout << fixed << setprecision(3) << o.first << " " << o.second << " " << r << endl;
    }

    return 0;
}

2016-08-23

AOJ 0009

競技プログラミング

Prime Number | Aizu Online Judge

普通に Eratosthenes の篩を用いる．実行時に素数を数えるより，予め計算しておいたほうがはやい．

#include <iostream>
#include <array>

using namespace std;

int main() {
    const int N = 1000000;

    array<bool, N> search_array;
    array<int, N> count_array;

    search_array.fill(true);
    search_array[0] = false;
    search_array[1] = false;

    for (int i = 2; i < N; ++i) {
        // Sieve of Eratosthenes
        if (search_array[i]) {
            for (int j = 2; i * j < N; ++j) {
                search_array[i * j] = false;
            }
        }

        // count prime numbers
        count_array[i] = count_array[i - 1] + search_array[i];
    }

    int n;
    while (cin >> n) {
        cout << count_array[n] << endl;
    }

    return 0;
}

2016-08-02

ポンピング補題の証明問題

形式言語・オートマトン大学・大学院

反復補題 (pumping lemma) はある言語が正規言語や文脈自由文法でないことを示すときに使う定理である．正規言語に対する反復補題と文脈自由文法に対する反復補題 *1 は若干異なるから注意すべし．

正規言語のポンピング補題

言語 $L$ が正規言語ならば，以下の条件を満たす自然数 $p$ (ポンピング長) が存在する．

任意の $\sigma \in L$ に対して $|\sigma| \geq p$ ならば，以下の条件を満たすように $\sigma = \alpha \beta \gamma$ と分割できる．

$|\alpha \beta| \leq p$
$|\beta| > 0$
任意の $n \in \mathbb{N}$ *2 に対して $\alpha \beta^n \gamma \in L$

文脈自由文法のポンピング補題

言語 $L$ が文脈自由文法ならば，以下の条件を満たす自然数 $p$ (ポンピング長) が存在する．

任意の $\sigma \in L$ に対して $|\sigma| \geq p$ ならば，以下の条件を満たすように $\sigma = uvwxy$ と分割できる．

$|vwx| \leq p$
$|vx| > 0$
任意の $n \in \mathbb{N}$ に対して $uv^nwx^ny \in L$

*1: $uvwxy$ 定理と呼ばれたりする．

*2: $\mathbb{N}$ はゼロを含む自然数の集合とする．

2016-07-07

院試受験記 (NAIST)

大学・大学院

sira.dev

2016-07-02

院試受験記 (JAIST)

大学・大学院

今日は JAIST の第 1 回博士前期課程入学試験を受験してきた。

国立大の情報系学科に通う B4 というパンピーの話ですが、今後受験する人たちの参考になればと思います。

2015-12-05

Processing でパーティクルフィルタ

画像処理 Processing

Processing でパーティクルフィルタというアルゴリズムを実装したので紹介します．

アルゴリズム

粒子フィルタ (パーティクルフィルタ) は，粒子 (パーティクル) と呼ばれる離散的なサンプルを状態空間にばら撒き，Monte Carlo 法により Bayesian フィルタを近似計算する手法．専門用語が多すぎて何がなんだかさっぱりだが，要するに，物体の検出と追跡を同時に行う逐次追跡アルゴリズムだ．

全画素を走査しないのでリアルタイム性に優れるが，前状態から次状態を推測するため，高速な物体の移動には対応しきれない．